Aufgabengruppe I

Lösen Sie folgende Aufgaben.

Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ , die durch die Punkte $C (6 | 2)$ und $D (- 3 | - 1)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze $C$ und $D$ in die Geradengleichung ein.
$(C) : 6 m + t = 2$
$(D) : - 3 m + t = - 1 \Rightarrow t = 3 m - 1$ eingesetzt in $C$
$(D) i n (C) : 6 m + (3 m - 1)$ $=$ $2$
↓
fasse zusammen
$9 m - 1$ $=$ $2$ $+ 1$
$9 m$ $=$ $3$ $: 9$
$m$ $=$ $\frac{3}{9}$
Setze $m$ in $(D)$ ein und berechne $t$ .
$t = 3 \cdot \frac{3}{9} - 1 \Rightarrow t = 0$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ lautet:
$g_{1} : y = \frac{1}{3} x$
Die Gerade $g_{3}$ verläuft durch den Punkt $B (11 | - 23)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_{2}$ : $y = x$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{2} : y = x \Rightarrow m_{2} = 1$
da die Gerade $g_{2}$ senkrecht auf der Geraden $g_{3}$ steht, gilt: $\begin{array}{l} m_{2} \cdot m_{3} = - 1 \Rightarrow m_{3} = \frac{- 1}{m_{2}} \Rightarrow m_{3} = - 1 \end{array}$
Stelle die Geradengleichung der Geraden $g_{3}$ auf.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Setze $m_{3}$ und die Koordinaten des Punktes $B$ in die Gleichung ein.
$- 23 = (- 1) \cdot 11 + t_{3} \Rightarrow t_{3} = - 12$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ lautet:
$g_{3} : y = - x - 12$
Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden $g_{4}$ an, die parallel zur Geraden $g_{2}$ : $y = x$ verläuft und nicht auf $g_{2}$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Mögliche Funktionsgleichung von $g_{4}$ :
Hinweis: $g_{4} :$ $y = x + t$ mit $t \in ℝ \ {0}$
z.B. $g_{4} : y = x + 3$
Der Punkt $A (4 | - 1)$ liegt auf der Geraden $g_{5}$ : $y = m_{5} x - 4$ . Bestimmen Sie die Steigung $m_{5}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Setze die Koordinaten des Punktes $A$ in die Geradenleichung $g_{5} : y = m_{5} x - 4$ ein:
$4 \cdot m_{5} - 4$ $=$ $- 1$ $+ 4$
$4 \cdot m_{5}$ $=$ $3$ $: 4$
$m_{5}$ $=$ $\frac{3}{4}$
Die Steigung $m_{5} = \frac{3}{4}$
Die Gerade $g_{6}$ : $y = x - 2,5$ und die Gerade $g_{7}$ mit der Funktionsgleichung
$g_{7}$ : $2 x = 3,5 - y$ schneiden sich im Punkt $S$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ und geben Sie diesen Punkt an.
Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $S$ .
Stelle die Geradengleichung $g_{7}$ nach $y$ um und setze $g_{6} = g_{7}$ .
$g_{7} : 2 x = 3,5 - y \Rightarrow y = - 2 x + 3,5$
Setze $g_{6} = g_{7}$
$x - 2,5$ $=$ $- 2 x + 3,5$ $+ 2 x$
$3 x - 2,5$ $=$ $3,5$ $+ 2,5$
$3 x$ $=$ $6$ $: 3$
$x$ $=$ $2$
Setze $x = 2$ in $g_{6}$ oder $g_{7}$ ein und berechne $y .$
$x$ eingesetzt in $g_{6}$ ergibt:
$1 \cdot 2 - 2,5 = y \Rightarrow y = - 0,5$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$S (2 | - 0,5)$
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{7}$ mit der x-Achse und geben Sie diesen Punkt an.
Zum Beispiel so: "(3|-2,5)"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{7}$ mit der
x-Achse.
Setze $g_{7} = 0$ und berechne $x$ .
$- 2 x + 3,5 = 0$
$- 2 x + 3,5$ $=$ $0$ $- 3,5$
$- 2 x$ $=$ $- 3,5$ $: - 2$
$x$ $=$ $1,75$
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_{7}$ mit der $x -$ Achse sind dann:
$N (1,75 | 0)$
Zeichnen Sie die Geraden $g_{5}$ und $g_{6}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$(D) i n (C) : 6 m + (3 m - 1)$	$=$	$2$
	↓	fasse zusammen
$9 m - 1$	$=$	$2$	$+ 1$
$9 m$	$=$	$3$	$: 9$
$m$	$=$	$\frac{3}{9}$

$4 \cdot m_{5} - 4$	$=$	$- 1$	$+ 4$
$4 \cdot m_{5}$	$=$	$3$	$: 4$
$m_{5}$	$=$	$\frac{3}{4}$

$x - 2,5$	$=$	$- 2 x + 3,5$	$+ 2 x$
$3 x - 2,5$	$=$	$3,5$	$+ 2,5$
$3 x$	$=$	$6$	$: 3$
$x$	$=$	$2$

$- 2 x + 3,5$	$=$	$0$	$- 3,5$
$- 2 x$	$=$	$- 3,5$	$: - 2$
$x$	$=$	$1,75$